魔兽世界钓鱼冲级:创新数学研究《自然数原本數数论》

创新数学研究《自然数原本數数论》

薛 海 明

“數数论”也称“数论”，它是研究存在于整数之间的联系和规律，并通过这种联系来研究数的性质的一门学科。在数论的发展史中，曾是数学家们热门的研究领域，并取得许多成果。在计算机普及的今天或数论研究中还存在着某些问题一直得不到圆满的解决，致使这门古老的数学分支，近几年几乎在数学研究领域中未有较大的突破。
在数论研究中，由于像“哥德巴赫猜想”这些数学问题的研究，涉及到数论研究中的许多性质，而且有些性质我们还未了解，虽然哥德巴赫提出这一问题已将近二百七十多年的时间，但现在世界许多知名的数学家们，仍然未取得实质性研究结果。从上世纪到本世纪初期开始，因“哥德巴赫猜想”这一问题的研究，它与“数论”中的许多性质有关，曾一度成为数学研究中的重点课题，当一些研究“哥德巴赫猜想”的数学家们，经过不断地努力还看不到任何研究前景，也提不出新的思想或研究方法时，不得不放弃对它的探讨。所以，现在一旦有人提及与此有关的数论问题时唯恐避而不及，不再理睬。数学家们不仅放弃对此问题的研究，他们同时也苦口婆心地一再告知对此问题具有爱好的数学研究者们，没必要再为此把时间与精力浪费掉。但因“哥德巴赫猜想”这一难题，与存在于自然数中的素数性质有着紧密关系，而素数又被人们看作是组成自然数的基本材料，由此看来，当数学家与数学爱好者都对此问题不再进行研究时，那么，像解决“哥德巴赫猜想”这样一些数学难题，则将永远成为数学研究中的一个迷，人们对组成整数中的素数这种“材料”的性质研究或认识，也同样永远成为数学研究领域中的一个盲区。显然，关于对数论这一数学分支的研究，也将影响到它今后的正常发展。当现代人们在各个自然科学领域内不断地取得许多研究成果时，尤其是数字化快速发展的今天，我们把数学中存在的某些问题看为一个个高不可攀的山峰，或视为深不可测的深渊不再去讨论，对整数性质认识上的一些难题不去解决，这将成为时代发展与数学研究之间一种不协调的讽刺。如果因噎废食，对影响数学领域中这样一个具体问题 — 素数“这种组成材料”的性质没有充分的认识，只能会成为数学研究史上的最大悲哀。
大凡自然科学研究中，都与数学有关，一旦脱离数学的参与，即将失去科学上的研究意义。这是因为数学表现出的规律与性质，实质上是反映着存在于空间事物的量化规律与性质。而在数论研究中，当我们不能真正或全面了解自然数的某些性质时，那么，同样在对自然科学研究中，也会遇到这样或那样的不解之迷。
数学这门科学，虽说是一种抽象的科学，但却像条清澈见底的河流一样，容不得一点泥沙。在某些问题研究过程中，一经浑浊，则让我们很难看清它的真实情况。例如在算术的第一级运算法则中，不论任何情况下， 13 + 5 = 18 还是5 + 13 = 18 都是成立的，无一例外。而在另一种叫做“模算术”的数学运算结果中，根据模数的大小其运算结果虽不会相同，但对于同一个模来说，则运算结果同样是唯一的。如果在数学运算中，即是由于粗心而使小数点的错位，也将会得到一个极为严重错误的结果。可以说在数学研究中，它是失之毫厘差之千里的一门最精确的科学。在数学这一繁花似锦的园地中，任何人都可欣赏它的美丽，但任何人又都必须遵守它的客观规律和性质。数论作为研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，它容不得半点差错。在数学研究中，如果由于人为的一点错误或没有真正认识其性质而引起混乱时，即使河水很浅，也会觉得像深不见底的深渊一样，让人们望而生畏不敢涉及。在数学研究领域中，当人们对于整数中存在的某些性质缺乏深入地了解，总是以猜想、相似、逼近、近似等这些不确定的概念因素定义，这成为人们对数学产生了深不可测的认识根源。然而首先使此河水变为浑浊的人不是别人，却是对自然数进行分类的数学家。据说，早在公元前约 500 年以前的古希腊时代，数学家毕达哥拉斯就已根据一些自然数所表现出的不同性质，把自然数分成三类，即第一类，自然数“ 1”，它不仅是自然数的一个基础数，而且它只有“1”这一个因子；第二类：一个自然数只有“1” 或它本身这两个因子能够被整除的数，叫做素数（也叫质数），如：2、3、5、7 、11 ... ；第三类数就是“合数”，也叫“复合数”，它可以被 1 和本身所整除外，还可以被其他数所整除，如：4、6、8、9 、12、15 等 ; 同时又把能够被“2”整除的数叫做“偶数”或“双数”， 如：2、4、6、8、10 、12 ... ，其余的数叫为“奇数 ”或“单数”，如：1、3、5、7、9 、 11 ... , 根据自然数的 这些现象， 把自然数按因子多少与其表现的性质分为三类 ，或把自然数分成奇数与偶数两类形式，从表面上看，这是一种既简单又明了的科学分类方法 。这种分类方法，在算术中有着非常特殊的性质，其应用是无法替代的。因此，几千年来我们一直沿用至今，并未提出任何异议。由于计算上的需要和不可替代的作用，从古至今，也没有一个数学家对自然数表现出的这些性质再去进行过更深入的研究或探讨。正是由于这种原因，当我们今天在对自然数的性质研究过程中，遇到难以解决的疑难问题时，我们不得不进行反思，重新从自然数的产生及发展过程中，来了解人们在对空间事物进行计数行为时，是否存在人为因素对自然规律所造成的影响。
当人类通过數数计数这种最初的数学形式产生自然数后，这种计数方法最初也只能够对空间事物的数量进行加法与减法的初级计算行为，但这却是人类对空间事物进行计数时的最基本性质和方法。在经过漫长的生产活动过程后，人们才有可能发现运用乘法与除法这种二级计算方法，可以减少计算时的过程，且省事实用，这就很容易发展为最初的四则算术运算的规律。这种对于用自然数进行四则计算的发展过程，虽然难以通过历史可以进行考证，但这并不影响人类利用自然数作为计数或计算工具的性质。当数学家毕达哥拉斯在对自然数四则运算方法进行研究后发现，在运用第二级算术方法进行计算时，某些自然数之间存在着一些共同的性质，并把它们分为以上三类性质和两种形式。但在这种分类过程中，毕达哥拉斯实质上仅仅是对第二级算术运算方法中，自然数所表现出的这些表面性质进行了分类，而他却对在第二级算术运算过程中，自然数为什么会表现出这些不同的性质，却没有进行深入地研究。毕达哥拉斯在未了解自然数为什么会存在这种性质的前提下进行分类，人为地直接建立在乘法或除法这种运算基础上，而乘与除这两种计算方法，又源于人类在计数过程的一种简化形式，因此，根据这种基础作为分类方法，其本质上存在着很大的人为因素。不能从自然数产生时的“數数”这种最本质上认识计数与计算的性质，显然这并不是一种科学的研究方法。这是第一次让我们对数学产生神秘感的最主要因素，也是我们没有完全揭开自然数神秘面纱的基本原因。
从數数计数这种初级数学运算形式，当发展为第二级算术运算方法后，自然数为什么会产生如此多的一些不同性质，从毕达哥拉斯对自然数进行分类后的两千五百多年历史中，直到现在也没有人们对这种现象进行过更深入地探讨。由于第二级算术运算方法，它仍然是源于數数计数过程中的一种简化形式。因此，当我们对自然数本身性质与规律的研究中，未对“數数计数”这种最基本的计数规律与性质进行深入地研究时，却对第二级算术运算方法中所产生出来的那些具有不同性质的自然数，直接作为研究对象，实质上已经成为对自然数进行间接的一种研究方法。
在毕达哥拉斯这种间接分类的基础上，人们对自然数的应用与研究虽经过两千五百多年的历史，但对这种间接分类现象并未引起重视。因此，对于自然数与數数之间存在的有那些不可分割的复杂关系的认识与了解，成为数学研究领域中的一大空白。当发现在自然数中，对某些数所存在着的不同性质与规律不能够做出圆满解释时，却被变成今天数学研究领域中的难题 。例如在数学家华罗庚先生所著的《数论导引》这一著作，作为数论研究的专著中，从第一章第一页开始，直接就进入到对“整数之分解”的讨论。在数学研究领域中，当脱离对“數数计数”这种最基本的数学形式的认识，并把“數数计数”从数学研究领域中游离出来后，从第二级算术这种间接基础上研究数学的性质，对于研究中的某些难题得不到解决，也就不足为奇了。 现代在对自然科学的研究领域中，越来越趋于对其微观世界进行深层次的探讨，而所取得的成就也越来越显得十分突出或重要。 但在数学研究中，毕达哥拉斯只是根据自然数的表面现象与性质，作为对自然数的分类方法，这种主观上的人为分类方法，不能不使我们怀疑它的合理性。因为我们无法了解自然数为什么会存在着以上性质的真正原因。这在种对自然数本身表现出的基本性质与规律还没有完全了解时进行分类，一开始就让人们在算术运算时，对某些性质进入到一个知其然不知其所以然的认识中。分布在自然数列中各个自然数存在的性质，它们所含的因子有多有少、有大有小，而且这些自然数的大小与因子的个数多少并无关系，例如：133 = 7×19 385 = 5×7×11 415 = 5×83 各个自然数中所含的这些因子，又表明它们与自然数数列之间存在着什么样的关系呢？在素数中，为什么唯有“2”这样一个偶数呢？诸如这样的问题，我们从未有去进行过更深入地探讨 。
自然数虽是一种抽象的数学运算符号，但它的产生却原于对空间事物所存在的具体形式，通过“數数”计数这种基础方法所产生的。可以说“數数”计数过程是客观事物与自然数这种抽象符号连接的唯一途径。我们对类似“數数”计数这样简单的方法与以上因子的性质没有进行了解之前，而以人为的方法，仅仅根据自然数在算术的第二级运算法则中所表现出来的不同性质，或一个数所含因子个数的多少对它们进行分类，看似虽然这是科学的，但我们却难以了解在分类过程中，这些自然数为什么会出现不同因子个数的基本原因。以上出现的这些问题，看似虽然十分简单，它们却预示着在数学中存在着某些“微观世界”，我们现在还并非真正认识或了解它。
在对自然数性质的研究过程中，对自然数本身所表现出来的一些性质，应该多问几个为什么。自然数中所含因子的不规则出现，素数在自然数列中无规律的分布形式，它们与“數数”计数形式之间是否有某种联系，所有这些，我们都无法给出正确的答案。在数学中对这样的“微观世界”进行研究，有必要对它进行一次追根问底的探讨。从数字符号的产生到它的应用，以及对数学这门学科的研究，虽已经过数千年或上万年的漫长历史，但我们人类总是囿于已有的数学知识，却看不到数学中这种“微观形式”的存在。当小学生最初学习加法、减法时，他们都要通过數自己的手指或其它物品作为参照物，然后进行计数时的主要方法。然而，当我们一旦有了一定的数学知识后，从来未有把 “數数”计数这样的“微观形式”看做是数学的一部分。数学家们在数学的研究中，几乎更不认为“數数与计数”这样的简单形式就是数学，然而在生活中，数学家和不会数学知识的普通人一样，在清点钱币与商品数量时，都同样应用“數数”这一最基本的计数方法，作为数学形式在应用的。重新认识创新数学《 數数论 》中的数学规律与性质，它将是数学研究领域中一种重要的“微观数学”模型。不仅数论研究中的许多性质或规律都与它有关，并且有些新发现的性质或规律，将会给我们带来出人意料地惊喜，甚至让我们为这些性质与规律达到拍案叫绝的地步。
人们在自然数列中看到，所定义的“合数”与“素数”，这些数在自然数列中分布的方式并没有具体的规律，因此，要从自然数列中把合数与素数能够很方便地找出来，或者对合数进行分解，只能根据对自然数分类时因子多少的基本性质，通过除法对它们一个一个地进行运算加以识别。为了减少运算过程，随之便产生了一种简便的方法，这就是“埃氏筛法”。这种方法传说是生活在公元前二百五十年左右，著名的古希腊数学家埃拉多斯染尼（埃拉托色奈斯）所创立的一种在自然数列内寻找素数时的一种方法，也称“埃氏筛法”或“古典筛法”。这种方法既是建立在毕达哥拉斯对自然数性质分类基础上，又是建立在乘法与除法运算基础之上的。其筛法的大体步骤是：
对从1到n进行筛选：先找出不超过n的全部素数，依次排列如下：2 = p1 < p2 < ... < p r ≤ n . 然后把大于1，而不超过n的自然数，按大小顺序排列如下：2，3，4 ... ，n. 在其中留下P1 = 2, 而把P1的倍数全部划掉，再留下P2，而把P2的倍数都划掉，继续这一手续，最后，留下Pr，而把Pr的倍数都划掉，留下的就是不超过n的全体素数了。
在《数论导引》中可了解到：“现在所做出之素数表，无一不由此法略加变化而得者”。可见今天所能够做出的素数表，都是建立在乘法与除法这种运算基础之上的，除此别无他法。在这种寻找素数的所有“筛法”中，我们同时也了解到，这些筛法与产生自然数的基本规律“數数”计数这种形式没有任何关系。
所谓“埃氏筛法”从自然数的分类到筛选素数的方法，虽然我们已经应用了数千年的历史，但却没有一个数学家对自然数所表现出的这些性质或方法去做更深刻的研究。当我们提出在自然数列内进行筛选素数方法中，是根据自然数本身的什么性质或规律为理论基础时，没有一个数学家能够做出正确的回答。对于这样的问题，最多也只能认为是根据毕达哥拉斯对自然数分类基础上进行的。当通过对各种数学资料进行查找，是不会找到这方面的任何记载或研究中的信息。就是数论研究中有关素数分布个数定理，在华罗庚先生的《数论导引》中也只能看到“其中之推测及定理，类多先由经验得来”这种人为经验的结果。可以说，在专门研究自然数性质的“整数论”或称“数论”中，我们只能了解到通过“數数”过程产生自然数的这种方法，以及对自然数数码进行定义的最初级形式，但对自然数本身与“數数”之间所存在的 有那些最本质的性质与联系规律，却无法了解。而在《數数论 》的讨论中，却让我们明显地了解到“數数”计数这种方法与自然数之间的许多性质，两者之间存在着不可分割的复杂关系。
《數数论》是一个不同寻常的数学模型。在研究“數数”计数与自然数数列之间所存在的规律与性质时，则是根据这种数学模型进行的。数学中这种创新数学的研究方法，为填补数学研究中的空白与数论的发展，今后将起到不可估量的作用。可以毫不夸张地说，在对类似哥德巴赫猜想这些数学难题中，关于不同性质的自然数之间所存在的各种关系，除重新认识这种创新数学中表现出的性质以外，别无他法。
在数学领域内，从数学的产生到现在已有几千上万年的历史，直到现在对它的研究中，由于四次关键研究过程涉及到有关數数计数问题没有得到本质上的认识，致使我们对数学产生模糊的了解，这就是：
1：两千五百多年前，毕达哥拉斯在对自然数的分类过程中，不是建立在數数计数基础上，同时又没有对其进行更深入地研究。
2：两千多年前，数学家埃氏筛法的创建，同样是建立在乘法与除法基础上，没有对因子产生的原因和性质进行深入地研究。
3：二百七十多年来，关于哥德巴赫猜想问题没有得到解决的真正原因，没有从最基本的计数方法中去找原因。
4：在现代数字化快速发展的时期， 数学研究领域仍未有对數数计数这一数学形式引起重视。由于以上关键问题都没有从根本上得到解决，对数学今后的发展所产生的影响是十分深远的。
《數数论》中所讨论的问题，由于这种计数方法本身就是大众化或小学生就已了解的一种数学知识，因此对这一数论知识的深度学习，可以普及到小学生中去，对于数论知识的学习与了解，将不会再是一种深奥莫测的数学知识。
在《數数论》中，除对自然数的微观世界了解外，还有一些规律具有一定周期分布的性质，这同样会对某些自然规律及科学研究，带来一定的作用。
人们根据自然界的生物结构与生活习性，它们表现 出的各种现象，以自然为师，成功地建立了仿生学原理，创造出不同形式的仿生机械。当通过自然数表现出的各种规律与性质后，也将建立起一个新的系统学原理，以及密码学、程序设计等学科。
由于在《數数论》的讨论中，可以从中了解到各个不同素数因子的结合规律和它的不同分布周期的形式，这为我们对许多自然规律的研究提供了数学的表达依据。例如生物的生物钟节律还是中国医学中所谓的子午流注学术，天文学中的星体在宇宙中运转周期，这些一切具有周期活动的自然规律，都可以从中寻找出不同因子的结合与它们的分布形式，作为研究中的数学依据。