幻方集群及幻方金字塔
李元敦 芜湖市赭山西路团结一村**栋***信箱（241001）
在笔者以前的论文中曾给出了一些用幻和相同、结构相同的四阶完美幻方依次拼接成的4K（K为自然数）阶活页完美幻方的例子，本文首先给出一个结论：
用幻和相同、结构相同的四阶完美幻方依次拼接成的4K（K大于6）阶的活页完美幻方，都是一个幻方集群，并且都能组成两座金字塔。
下面给出一个用幻和相同、结构相同的四阶完美幻方依次拼接成的28阶活页完美幻方（S = 10990，图1，可以看出，所用的49个四阶完美幻方都由8对互补数组成，
这些四阶完美幻方内的最小自然数都处于第一行左起第三方格，这49个最小自然数组成公差为4的等差数列，并且这49个最小自然数所在的四阶完美幻方确实是依次排列的）说明上述结论。
（1）图1完美幻方是由49个四阶完美幻方依次拼接成的。每一个四阶完美幻方的幻和都是1570。
（2）如果将整个幻方的前两列移动到幻方的右方（或者将整个幻方的前两行移动到幻方的下方），得到的是一个28阶幻方E（或者得到一个28阶幻方F），幻方E、F都是由49个幻和相同的四阶幻方拼接成的。例如图2、图3分别是幻方E左上角、右上角的四阶幻方。又如图4、图5分别是幻方F左上角、左下角的四阶幻方。
1
782
203
584
25
758
199
588
200
587
6
777
224
563
2
781
586
197
780
7
562
221
784
3
783
4
581
202
759
28
585
198
图2 图3
784
3
586
197
616
171
418
365
585
198
783
4
417
366
615
172
227
560
29
754
199
588
1
782
30
753
228
559
2
781
200
587
图4 图5
（3）图1中任何上下左右相邻的4张活页，都构成一个八阶完美幻方。共有36个不同的八阶完美幻方，其幻和都是3140。
（4）图1中上下左右相邻的9张活页，都构成一个12阶完美幻方。共有25个不同的12阶完美幻方，其幻和都是4170。
（5）图1中上下左右相邻的16张活页，都构成一个16阶完美幻方。共有16个不同的16阶完美幻方，其幻和都是6280。
（6）图1中上下左右相邻的25张活页，都构成一个20阶完美幻方。共有9个不同的20阶完美幻方，其幻和都是7850。
（7）图1中上下左右相邻的36张活页，都构成一个24阶完美幻方。共有4个不同的24阶完美幻方，其幻和都是9420。
（8）图1整体是一个28阶完美幻方。
综上所述，不计算非完美幻方的话，上述前7项中完美幻方的数量：49、36、25、16、9、4、1组成一个金字塔。另一方面，这一系列完美幻方的阶数：4、8、12、16、20、24、28也组成一个金字塔。
《中国幻方》主编李抗强的评语：
笔者请教了曹陵先生后得知，本文所述结论是严谨的。因笔者能力有限，未能给出严谨的证明，抱歉。有必要指出：如果这些幻和相同、结构相同的四阶完美幻方不是依次排列的，则所得到的4k阶活页方阵虽然一定是28阶幻方，但它可能不是完美幻方？但经过检验后，方阵G确是28阶完美幻方，可见李元敦先生的构思十分巧妙！
2008年5月21日收到稿件
九乡新闻网