丘成桐：美国反战硝烟中独得真传 破解霍金猜想

丘成桐教授

作者：郑绍远（香港科技大学署理学术副校长）

选自：香港《明报月刊》2010年4月号

原标题：丘成桐与几何分析

欣闻丘成桐获颁二〇一〇年沃尔夫数学奖，兴奋莫名，因为这是第二位华裔数学家获此殊荣。我们的老师陈省身先生在一九八三年以他在整体微分几何的巨大贡献而获沃尔夫奖；丘成桐则以他在几何分析领域的巨大贡献而获奖。几何分析是丘成桐创建的数学领域，丘成桐成功把偏微分方程的方法，尤其是非线性分析的方法，引进几何问题中，既丰富了偏微分方程的课题，又有效破解了大量的几何和理论物理的难题。一九七〇年代是几何分析的奠基和茁壮期，一些重要的方法和观点都是在这个时期发展出来的，我十分幸运亲历这个时期的重要活动，现在回想起来仍能感受到当时对学术的激情和澎湃的创意。

硝烟中独得学术真传

丘成桐在一九六九年秋获奖学金到加州大学柏克莱分校攻读数学博士课程，一个学期后便解决了沃尔夫猜想（Wolf Conjecture，与沃尔夫奖无关），完成了博士课程的主要部分。因为丘成桐卓越的成就，柏克莱就一口气给奖学金录取了我和中文大学的另一位同学。到柏克莱后，我和丘成桐合租一间在欧几里德街（很巧合！）上的单身公寓，丘成桐很喜欢谈数学，常与朋友分享他的观点和想法。每日浸淫其中，我自然获益不浅。事实上，丘成桐这时期已开始钻研偏微分方程，当时柏克莱在这方面的大师是摩理教授（Charles Morrey），丘成桐在七〇年春季开始修读摩理教授的讨论班。七〇年春季是一个时局动荡的时候，五月在肯德州立大学（Kent State University）反战活动中，四名学生中枪死亡，全美因此发生大规模反战活动，柏克莱校园成为学生和警察的战场，多次实施宵禁和戒严。摩理教授的讨论班上只剩丘成桐一人，在硝烟弥漫和直升机盘旋声中，丘成桐独得摩理教授的真传。

这个时期，丘成桐仍在钻研非线性偏微分方程的理论，但他已提出一个重要问题，就是如何把经典的刘维尔定理（Liouville Theorem）推广到完备非紧致里奇曲率（Ricci curvature）非负的黎曼流形上。这是一个很好的问题，漂亮而又不能用既有方法解答，于是在一九七二年，丘成桐发展了在黎曼流形上做梯度估计（Gradient estimate）的方法解决这个问题。在黎曼流形上的梯度估计是几何分析发展的重要里程碑。可以说，丘成桐这个工作，宣告了几何分析的诞生。

把几何研究推到高峰

一九七三年暑假，丘成桐自美东到加州史丹福大学任助理教授，而往后数年可说是几何分析的重要发展时期，丘成桐和几何分析的几位重要人物开始了长期的合作，共同把几何分析研究推到高峰。

在史丹福大学，丘成桐认识了年轻澳州籍数学家李安．西蒙（Leon Simon）。西蒙教授是一位谦谦君子，他并非名校毕业，但他出色的博士论文令史丹福大学的吉尔拔 （David Gilang） 教授大为赏识，把他聘到史丹福大学数学系任助理教授。另一位关键人物是孙理教授（Rick Schoen，孙理是丘成桐给他取的中文名字）。孙理当时仍是研究生，他来自中西部农庄，有中西部人沉实苦干的精神，身高六尺，身手灵活，各种球类都精通。他是少数懂得灌篮的数学家，垒球亦十分出色。一九七九年丘成桐、孙理、李伟光（Peter Li）和我四人到夏威夷旅行，看见挂在椰树上的椰子艳羡不已，孙理拿起石头向四十尺高的椰子树一掷，就把树顶的椰子打下来，可惜后来椰子不能带进美国大陆而被海关充公了。

丘成桐、西蒙和孙理当时都是二十多岁，风华正茂，所谓初生之犊，不畏猛虎，半年后他们三人就在极小子流形方面有所突破，做了出色的工作。孙理告诉我，丘成桐这时去旁听很多研究生的课程，史丹福大学有很优秀的分析传统，丘成桐兼容并包，无所不学，功力大增，很快便到了融会贯通、自成一派的境界。

丘成桐自一九七一年起便知道卡拉比猜想（Calabi’s Conjecture）的重要性，下定决心破解。要解决卡拉比猜想先要解决在黎曼流形上一个二阶全非线性椭圆形方程，这个问题就算在欧氏空间已经是一个十分困难的问题。一九七五年，丘成桐和我在这方面有一些很好的进展，但距离解决卡拉比猜想仍远，因为我们欠缺一个关键性的零阶先验估计（0-order a priori estimate）。一九七六年夏天，丘成桐结婚，小登科后数月便解决了卡拉比猜想，名震天下，一九七七年陈省身先生立刻邀丘成桐到柏克莱访问一年。这时柏克莱人才济济，孙理一九七五年史丹福毕业后便于柏克莱任助理教授，柏克莱亦向麻省理工学院挖角，聘了几何及拓朴学大师辛格（I.M.Singer），他的办公室就在丘的旁边。幸运的，我刚巧得到史隆基金会（Alfred P.Sloan Foundation）的史隆研究奖，可以专心做研究一年，不用教学。知道丘成桐会到柏克莱，我亦携一家老少回来一年，继续做几何分析的研究工作。这时李伟光是陈省身教授门下的研究生，他来自香港，很讲究生活品味，他每天开名贵Alfa Romeo跑车上学，在柏克莱数学系中传为佳话。李伟光这时开始与丘成桐在几何分析方面做研究，二人在八〇年代初做了大量出色的工作，其中关于黎曼流形上的热核估计更在二〇〇三年佩尔曼的庞卡莱猜想工作中起关键的作用。

解决了霍金提出的问题

在柏克莱期间，辛格教授对理论物理，尤其是规范场论感到兴趣，很多著名的数学家和物理学家都到柏克莱作访问，丘成桐和孙理亦开始研究广义相对论的正质量猜想（positive mass conjecture），他们首先发展了三维流形内的极小曲面理论，再以此为基础在一九七八年解决了正质量猜想，令霍金教授赞叹不已。之后不久，丘成桐访问了霍金，霍金向丘成桐提出正能量猜想（positive energy conjecture），丘成桐和孙理数月后亦把它解决了。

英雄荟萃普林斯顿

尔后，丘成桐这一系列工作自然引起数学界的重视，普林斯顿高等研究所（Institute for Advanced Study）立刻邀请丘成桐在一九七九年主办微分几何年，广邀这方面的数学家荟萃一堂，推动整个领域更上一层楼。这可以说是几何分析的第一个群英会。丘成桐邀请了孙理、李安．西蒙、李伟光到普林斯顿访问一年，而我亦得到普林斯顿大学数学系的支持，让我这一年不用教书，全心全意参加高等研究所的学术活动。这一年大家都住在高等研究院的宿舍，更多机会交流讨论。此外，丘成桐又主办了很多学术活动，天下英雄好汉都来作学术访问，互相切磋，丰富了几何分析的内容，扩大了几何分析的影响力，使之成为数学领域的一个重要学科。

后来，丘成桐更把整年的学术活动编辑成书，并加上他所订立的一百二十题几何分析的重要猜想，为几何分析日后的发展定了明确的方向。自八〇年至今三十年间，几何分析蓬勃发展，很多数学难题都以几何分析的方法一一破解。如果要描述这三十年的发展，就要更多更多的篇幅，并非这篇短文所能概括的了。