黑芝麻糊:数学课堂教学中创设问题情境的若干途径

浙江省温州市文成县成职教中心  刘国学

所谓“学生自主探究”的教学，就是学生在教师指导下，在科学领域或现实生活中，通过学生自主探究式的学习研究活动，在获取已有知识或经验的基础上，经过同化、组合和探究，获取新的知识、能力和态度，发展创新素质的一种学习方式。具有一定的开放性和伸缩性。它要求学生主动地参与研究过程，获得亲身体验，培养良好的科学态度和学会进行科学研究的方法，通过诱发主体意识，发挥主体作用，展示主体人格，体现主体价值，从而在参与中学会学习，学会合作，学会创新。因此发挥学生的主体作用，引导学生自主探究是创新形式下素质教育的核心和灵魂。

课堂教学是实施素质教育的主阵地，是学生感悟与体验探究性学习的重要渠道，是培养学生创新精神和实践能力的良好场所。创新教育要求教师把创造性的教育落实到每一堂课，通过“创设问题情境—学生主动探究—展示、交流探究成果—总结评价、巩固拓展”，实现从“应试型”向“素质型”转化，从“传统型”向“创新型”转化，大胆探索素质型、创新型的课堂教学模式。笔者认为，在课堂教学中，通过创设问题情境，使学生在心理上形成一种强烈的求知欲，产生明显的意识倾向与情感共鸣，乃是主体参与与探究的起点和关键。本文仅就此问题谈几点体会，以求教于同仁。

一、创设直观性图形（模型），引导学生深刻理解有关数学命题

案例1  “充要条件”是高中数学教学的一个重要概念，并且是教与学的一个难点，若设计以下四个简单电路，视“开关A的闭合”为条件A，“灯泡B亮”为条件B，引导学生自己推导并理解，给充分不必要、必要不充分、充分且必要、既不充分又不必要条件以十分贴切、形象的解释，可谓对概念的理解入木三分。

案例2  在“排列数公式”的教学时，由于学生对“排列数”的概念及“排列数公式”的推导理解不深，因此在运用“排列数公式”时往往处于记忆的停滞状态，可先设置一例：

现在书架上有8本不同的书，分给8个同学，每人一本，共有多少种不同的分法？于是学生议论纷纷，有的甚至拿出8本不同的书试着分，然而怎么也分不清。此时教师趁势引导：以下两种情况是否与原题等价？

若把8本书先固定，视为8个空位置，让8个同学进行全排列，结果怎样？或把8个同学先固定，视为8个空位置，让8本书进行全排列，结果怎样？

根据乘法原理，大部分学生都能解答，实际上已为“排列数公式”的推导铺平了“道路”，同时也为理解和运用“排列数公式”做好了铺垫。

二、创设趣味性问题情境，引发学生自主探究的兴趣

案例3  在“等比数列”一节的教学时，可创设如下有趣的问题情境引入等比数列的概念。

阿基里斯（希腊神话中的善跑英雄）和乌龟赛跑。乌龟在阿基里斯前方1里处，阿基里斯的速度是乌龟的10倍，当他追到1里处时，乌龟前进了里，当他又跑了里时，乌龟又前进了里，当他又跑了里时，乌龟又前进了里……

1.分别写出相同的各段时间里阿基里斯和乌龟所行的路程。

2.阿基里斯能否追上乌龟？

此时学生兴趣十分浓厚，可让学生自己观察这两个数列的特点并得出等比数列的定义。并设问：前后项关系用一个通项公式怎样表示？同时为等比数列的通项公式及求和公式（错位相减法）埋下伏笔。

案例4讲“对数”一课，为了提高学生理解对数概念及探究其运算性质的兴趣，可设计这样一个问题：一张0.083毫米厚的纸，对折3次不足1毫米，若对折30次，请同学们估计一下厚多少。学生各自估计后，难以得到结论，再告诉他们：其厚度比十座珠穆朗玛峰叠在一起还高。引导学生列出算式：0.083×2³⁰。但计算2³⁰很不容易，怎么办？至此形成悬念，学生求知欲一发而不可收。学生的问题意识，探究意识定会不断加强。

三、创设应用性问题情境，引导学生自己发现并探究有关数学命题

案例5  在“均值定理”一节的教学中，可设计如下实际问题（经济问题）。

某商店在节前进行商品降价酬宾活动，拟分两次降价。给出三种降价方案。甲方案是第一次打a折销售，第二次又打b折销售；乙方案是第一次打b折销售，第二次又打a折销售；丙方案是两次都打折销售，请问：哪一种方案降价最多？

学生通过审题、分析、讨论，大都能归结为比较ab与()²的大小问题，引导学生用特殊值猜出ab≤

()²，即转化为a²+b²≥2ab。此时对定理的证明已是水到渠成，即：

方法一（综合法）：不难看出，它是定理a²+b²≥2ab(a、b∈R)的特例，可采用课本中的论证方法。

方法二（分析法）：因为不等式两边皆正，所以只要证：()²≥ab，即（a-b）²≥0。

方法三（反证法）：原式中“≥”的反面是“＜”，不妨设＜，则（a-b）²＜0。矛盾。

这些方法能融入此题中灵活运用，教师应表示赞同，因此相当于给学生创设了一个观察、联想、抽象、概括、数学化的过程。有经验的教师不能让问题止于课堂，止于自己，而要给学生更多的创新时空。

引导学生继续思考：

问题1  请大家放开想象的翅膀，试联系函数、图形及其他知识再找出一种或几种证法。

问题2  由≥(a、b∈R⁺)，你能得到哪些变式？

问题3  在什么条件下，≥成立？

问题4  观察≥(a、b∈R⁺)的特点，试讨论、类比、猜想：推广到三个字母时，能得到什么？

问题5  上面咱们从字母个数上作了推广，你能否再作变化？如从字母指数上，或字母个数与字母指数上同时推广。

通过问题的创设与解决，可以不断发挥学生的主体作用，加强学生的探究意识，自然而然地激发学生的创新热情，从而培养学生的创新精神。

四、创设疑惑陷阱情境，引导学生主动参与讨论与探究

案例6　双曲线=1上一点P到右焦点的距离是5，则下面结论正确的是（  ）。

A.到左焦点的距离为13

B.到左焦点的距离为15

C.到左焦点的距离不确定

D.P点不存在

教学时，根据学生平时练习反馈信息，教师有意出示如下两种错解。

错解1：设双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，由双曲线的定义，得

｜PF₁｜-｜PF₂｜=±10。∵｜PF₂｜=5,∴｜PF₁｜=｜PF₂｜+10=15。故选B。

错解2：设P（x₀,y₀）为双曲线右支上的一点，则｜PF₂｜=ex₀-a。

由a=5,｜PF₂｜=5，得ex₀=10。∴｜PF₁｜=ex₀+a=15。故选B。

引导学生讨论辨析：若｜PF₂｜=5，｜PF₁｜=15，则｜PF₁｜+｜PF₂｜=    。而｜F₁F₂｜=2c=    ，即有
｜PF₁｜+｜PF₂｜＜｜F₁F₂｜。这可能吗？（与什么定理矛盾？）可见点P是不存在的。故选D。

这样通过讨论、辨析，错误原因清楚了：忽视了双曲线定义中的限制条件，从而加深了对双曲线定义的理解与应用。

通过上述问题的辨析，使学生从陷阱中跳出来，增加了防御经验，更主要地是能使学生参与探究，在讨论中自觉地辨析正误，从而充分地发挥了学生的主体作用。

五、创设开放性问题情境，启迪学生创造性思维的培养

案例7  直线y=x+m与抛物线y²=2x相交于A、B两点,         ,求直线AB的方程。（补充适当条件）

此题一出示，学生思维很活跃，补充的条件形形色色（可能平时经常遇到此类问题），例如：

（1）∠AOB=90°（O为原点）；

（2）｜AB｜=8；

（3）中点的纵坐标为6（或给出横坐标）；

（4）过抛物线的焦点F。

涉及的知识有韦达定理、弦长公式、中点坐标、焦点坐标、直线垂直的充要条件等，学生实实在在地进入了“状态”，自主探究意识不断得到培养。

六、创设新旧知识问题序列，引导学生获取新知识的生长点

案例8下面我把一次“向量的加法”（人教版中等职业教育国家规划教材《数学》（基础版）第215～217页）中的一个教学片段整理出来，可见应该如何引导学生获取新知识的生长点。

给出例1：

已知向量a、b，求作向量a+b。

这堂课我放手让学生画图（可能出现多种情况），打开他们的思路。每组经讨论、辨析、概括后，各派一位代表上台板演，呈现他们各自不同的画法，最后教师讲评。根据信息反馈，及时进行设问。

设问1  a+b与b+a的结果一样吗？为什么？由此可得向量加法满足哪种运算律？

设问2  向量加法是否遵循平行四边形法则？（其实是物理中平行四边形法则的迁移，让学生自己画图完成即可。）

设问3  向量加法满足结合律吗？（引导学生自己猜想，画图验证。）

由此可说明多个向量加法运算可根据向量加法的交换律与向量加法的结合律，按任意的次序与组合进行。待学生对向量加法法则有一定认识后，引导学生自己探究以下问题：

设问4  根据两个向量的求和法则，能否得出多个向量的求和法则？

设问5  ｜a+b｜≥｜a｜+｜b｜，对吗？怎样改正？符号何时成立？

设问6  是否存在向量a、b，使得a+b=a－b？

设问7  若｜a｜=8，｜b｜=12，则｜a+b｜有最大值或最小值吗？若有，求出分别是多少。

设问8  用平行四边形法则作向量a、b的和，若要使a+b平分a、b间的夹角，则a、b应满足什么条件？

对于这些问题，教师不要急于提示、诱导，要给学生充分思考的时间，让学生先尝试，视学生画图情况再指出怎样画图更便于解题。再出示例2（根据第217练习7加以改编）：

一艘船以23 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的速度为2km/h，求船实际速度的大小和方向（用与流速间的夹角表示）。等学生探讨后，进行变式练习：

设问9  若使船实际速度为23 km/h且垂直方向靠岸，你能求出船自身行驶速度的大小与方向吗？

通过信息反馈，大部分学生能给出比较满意的答案，因此我们要相信学生。通过创设思维情境，给学生思维的时间，相当于打开思维大门的“钥匙”，这正是创新教育要达到的目的。

七、创设新异悬念情境，引导学生自主探究

案例9在“抛物线及标准方程”一节中，引出抛物线定义后，可设置这样的问题情境：

初中已学过的一元二次函数（y=x²）的图象也是抛物线，而今的定义与初中已学过的抛物线从字面看不一致，你能找出内在的联系吗？

此时教师要注意点拨：我们应该由y=x²入手推导出曲线上动点P(x,y)到某定点F（x₀,y₀）和某定直线l的距离相等。大家试试看？学生纷纷动笔变形，拼凑：

x²=y  x²+y²=y+y²  x²+y²-y=y²+y  x²+(y-)²=(y+)²

=｜y+｜

显然，它表示平面上动点P(x,y)到定点F（0,）的距离正好等于到定直线y=-的距离，完全符合现在的定义。这个教学环节对训练学生的自主探究能力，无疑是非常有用的。

案例10在“两角和的余弦公式推导”中，可创设如下问题情境：

（1）知识迁移：对于函数f(x)=a^x(a＞0且a≠1)，是否有f(x₁+x₂)=f(x₁)+f(x₂)（学生完成）。猜想：cos(α+β)=cos α+cos β或cos(α+β)=cos α·cos β成立吗？

（2）特例验证：cos 60°=cos(30°+30°)≠cos 30°+cos 30°，cos 60°≠cos 30°·cos 30°。cos 120°=cos(90°+30°)≠cos 90°+cos 30°，cos 120°≠cos 90°·cos 30°。（否定猜想）

（3）回归定义：如何求cos 75°=cos(30°+45°)的值？

如图：构造Rt△ABE、Rt△ABC、Rt△EBD，则cos(30°+45°)

==cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°。

(4)提出问题：cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β。

（5）重新验证：

cos(30°+30°),cos(90°+30°)。

通过创设问题情境，学生作为认知主体感受到问题的存在，但面对这十分困惑的情境，解决问题的关键是什么？原苏联教育家马赫托夫在创设问题情境的基本方式中指出：激发学生比较和对照事实现象或提出假想，概述问题，并对结论加以检验，促使学生的问题意识与探究意识不断升华。

八、编写读书提纲，引导学生在阅读中学会探究

案例11由上案例我们知道，学生明确要证明：cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β。此时教师要积极启发，引导学生阅读课文并思考下列问题：

（1）怎么会想到利用单位圆及两点间距离相等这一等量关系？

（2）怎么会想到做-β？

（3）如何理解两角和的余弦公式对任意角α、β都成立？

（4）有无其他等量关系可以建立等式？

（5）有无其他方法证明两角和的余弦公式？

如果说提出问题是思维活动的出发点，那么从意识到问题的存在并创设相关的问题则是学生自主探究的关键，此时学生要面对这些问题进行全面分析探讨，使问题具体化，即进一步明确所要解决问题的实质所在。

案例12对《立体几何》“平面基本性质”一节，可拟以下阅读提纲，让学生自主探究：

（1）三个公理及三个推论的图形语言与符号语言怎样表示？

（2）公理及推论中的“有且只有一个”怎样理解？说明事物的什么属性？

（3）公理3的推论1的证明分几步进行？

（4）对公理3的推论2及推论3你会证明吗？

（5）三个公理及三个推论的主要作用是什么？

（6）平面几何的公理、定理等，在空间图形中是否仍然成立？试举例。

通过学生对课文的阅读及问题的解决，充分展示了学生的主体作用，学生真正成为问题的探索者、信息的反馈者、目标的实现者，从而在充满快乐的氛围中，构建自己的知识体系，意识到创新并非高不可攀。

创设问题情境的方法很多，但必须做到科学、适度，具体地说：要有难度，但须在学生的“最近发现区”内；要面向全体学生，注意其层次性；要有针对性、启发性，简洁明确；要注意时机，情境的设置要恰当，寻找学生思维的最佳突破口；教师要做到提问少而精，学生质疑多而深，不让问题止于课堂，止于自己。同时要注意问题情境的设置不仅在教学的引入阶段要格外注意，而且应当随着教学过程的开展成为一个连续的过程，并形成几个高潮，使学生经常处于“愤悱”的状态中，给学生提供学习的目标和思维的时空，学生自主探究才成为可能。特别要指出的是，在引导学生自主探究时要加强学法指导，使摸索体会到的观念、方法尽快地上升到理论的高度。另外还要注重情感因素是启动学生自主探究的关键，这就需要在课堂教学中，营造一个民主、平等、和谐的氛围，使认知与情感两个领域有机结合，促使学生的全面发展。