铃儿响叮当双手简谱:数学思维的助推器
数学思维的助推器——充分条件、必要条件在数学学习中的作用和意义
肥城市第一高级中学 谢元辉 2011年7月20日 11:38
李炳奎于11-7-20 12:11推荐设计的用心，并且不同的策略总结的到位郭凤芝于11-7-20 17:51推荐分析的很到位，特别是充分条件、必要条件沟通了集合之间的关系这个问题。值得老师们学习。朱恒杰于11-7-21 00:05推荐“充分条件、必要条件是数学思维的助推器”。比喻准确，一语中的，值得学习。学习数学需全面理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用，更广泛地说，在日常生活、工作、学习中，基本的逻辑知识也是认识问题，研究问题不可缺少的工具。充分条件与必要条件是中学数学最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论的逻辑关系，目的是为了今后的学习，特别是数学推理的学习打下基础。充要条件在高中数学中地位是最基本，也是最重要的。数学活动离不开对问题进行等价转化与非等价转化, 充分条件、必要条件、充要条件及有关知识是进行这些转化的逻辑基础，它们是研究命题的条件与结论之间逻辑关系的重要工具，只有掌握了充分、必要条件的知识,并灵活运用它们进行推理判断，才可以说是建立起了保证数学活动顺利进行的完整的逻辑结构.对于培养学生逻辑思维﹙如理解、判断、推理、归纳等﹚的能力具有重要的作用。
1、充分条件、必要条件有助于数学定义、定理的学习
数学中每一个定义都包含着一个充要条件，也就是说，只有是的充要条件，才能用去定义，根据定义的这个特征，可以检查定义下得是否正确。
例如：“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”中的“有一个角是直角的平行四边形”和“矩形”互为充要条件，即可以互相推出，因此可以如此定义“矩形”。
充分条件实际上是一个判定定理，就是它是要决定这件事成立不成立的一个条件，而必要条件呢，都是一些性质定理。定理的条件是结论的充分条件，若也是必要条件，则有其逆定理。
2．充分条件、必要条件沟通了集合之间的关系
我们可以结合集合相关知识进行图形表示充分条件与必要条件这些概念。P是一个命题，利用集合的描述法，可以定义一个集合A,使A中的元素满足命题p。同理，可以定义一个集合B，使其元素满足命题q。 这样我们就可以应用图形形象的讲解充分条件、必要条件以及充分条件这些概念的关系了，如果满足： 集合B是集合A的子集，这样就可以形象的理解为大圆是小圆的充分条件，小圆是大圆的必要条件,即充分条件可以理解为“大“的成立”小的“一定成立，必要条件可以理解为要使”大“的成立，首先得”大“的包含的部分成立。这样也可以得到从图形形象的看出如下关系: 如果A的面积大于B的面积，即圆A有一部分没有被圆B覆盖，记A中没有被B覆盖的部分为C,可以知道A同时是B和C的充分条件，这说明了某命题是谁的充分条件并不是唯一的，同意必要条件也不是唯一的。如何能成为唯一的呢（即A与B是充分必要条件），这就要求B可以完全覆盖A（A、B面积相等）,即C为空集，这也理解充分必要条件的等价性等问题。
3．充分条件、必要条件使得推理、论证更加明确、清晰
在解题论证时，我们经常运用综合法、分析法。
综合法：从充分、必要条件的关系去看，实际上是从已知条件出发，寻求必要条件，一直找到求证的结果。
分析法是由结论出发，每一步都要寻找它的充分条件。
对于较复杂的证明，思考时往往将分析法与综合法结合起来使用，也就是既看要使结论成立需要什么，又看由条件可以得出什么，这样就容易找到证明的途径，找出证题途径后，宜用综上所述合法写出证明过程。
总之，正确地理解好充分条件、必要条件、必要而非充分条件、充分而非必要条件、充要条件，可以迅速清楚地看出命题的条件和结论之间的关系，准确地判断出命题的正误，纠正错误的命题，证明正确的命题，经常运用充分、必要条件分析问题，能培养思维的严密性、逻辑性。学习充分、必要条件对增强逻辑思维能力，培养良好的思维习惯具有重要作用，随着数学知识的深入学习，其运用也将更加广泛。在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。