鬼泣4特别版怎么下载:高中数学解题基本方法---待定系数法
要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式f(x)
待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法,它解题的基本步骤是:
第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式;
第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;
第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析:
①利用对应系数相等列方程;
②由恒等的概念用数值代入法列方程;
③利用定义本身的属性列方程;
④利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程:首先设所求方程的形式,其中含有待定的系数;再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组;最后解所得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程。
Ⅰ、再现性题组:
1. 设f(x)=
A.
2. 二次不等式ax
A. 10 B. -
3. 在(1-x
A. -297 B.-
4. 函数y=a-bcos3x (b<0)的最大值为
5. 与直线L:2x+3y+5=0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。
6. 与双曲线x
【简解】1小题:由f(x)=
2小题:由不等式解集(-
3小题:分析x
4小题:由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值,再代入求得答案
5小题:设直线L’方程2x+3y+c=0,点A(1,-4)代入求得C=10,即得2x+3y+10=0;
6小题:设双曲线方程x
Ⅱ、示范性题组:
例1. 已知函数y=
【分析】求函数的表达式,实际上就是确定系数m、n的值;已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域,对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。
【解】 函数式变形为: (y-m)x
∴ △=(-4
不等式①的解集为(-1,7),则-1、7是方程y
代入两根得:
∴ y=
此题也可由解集(-1,7)而设(y+1)(y-7)≤0,即y
【注】 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定,首先用“判别式法”处理函数值域问题,得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式,且知道了它的解集,求参数m、n。两种方法可以求解,一是视为方程两根,代入后列出m、n的方程求解;二是由已知解集写出不等式,比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻,也要求理解求函数值域的“判别式法”:将y视为参数,函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程,可知其有解,利用△≥0,建立了关于参数y的不等式,解出y的范围就是值域,使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。
例2. 设椭圆中心在(2,-1),它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直,且此焦点与长轴较近的端点距离是
x
A F O’ F’ A’
B
【分析】求椭圆方程,根据所给条件,确定几何数据a、b、c之值,问题就全部解决了。设a、b、c后,由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程,再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a-c的值后列出第二个方程。
【解】 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c,则|BF’|=a
∴
∴ 所求椭圆方程是:
也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后,由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’,再进行如下列式:
【注】 圆锥曲线中,参数(a、b、c、e、p)的确定,是待定系数法的生动体现;如何确定,要抓住已知条件,将其转换成表达式。在曲线的平移中,几何数据(a、b、c、e)不变,本题就利用了这一特征,列出关于a-c的等式。
一般地,解析几何中求曲线方程的问题,大部分用待定系数法,基本步骤是:设方程(或几何数据)→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。
例3. 是否存在常数a、b、c,使得等式1·2
【分析】是否存在,不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立,取特殊值n=1、2、3列出关于a、b、c的方程组,解方程组求出a、b、c的值,再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。
【解】假设存在a、b、c使得等式成立,令:n=1,得4=
于是对n=1、2、3,等式1·2
假设对n=k时等式成立,即1·2
当n=k+1时,1·2
也就是说,等式对n=k+1也成立。
综上所述,当a=8、b=11、c=10时,题设的等式对一切自然数n都成立。
【注】建立关于待定系数的方程组,在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中,也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时,可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列1
例4. 有矩形的铁皮,其长为30cm,宽为14cm,要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形,将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子,问x为何值时,矩形盒子容积最大,最大容积是多少?
【分析】实际问题中,最大值、最小值的研究,先由已知条件选取合适的变量建立目标函数,将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。
【解】 依题意,矩形盒子底边边长为(30-2x)cm,底边宽为(14-2x)cm,高为xcm。
∴ 盒子容积 V=(30-2x)(14-2x)x=4(15-x)(7-x)x ,
显然:15-x>0,7-x>0,x>0。
设V=
要使用均值不等式,则
解得:a=
从而V=
所以当x=3时,矩形盒子的容积最大,最大容积是576cm
【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件,当条件不满足时要凑配系数,可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令V=
Ⅲ、巩固性题组:
1. 函数y=log
2. 方程x
A. 1 B. -
3. 如果函数y=sin2x+a·cos2x的图像关于直线x=-
A.
4. 满足C
A. 4 B.
5. 无穷等比数列{a
A. -
6. (1+kx)
7. 经过两直线11x-3y-9=0与12x+y-19=0的交点,且过点(3,-2)的直线方程为_____________。
8. 正三棱锥底面边长为2,侧棱和底面所成角为60°,过底面一边作截面,使其与底面成30°角,则截面面积为______________。
9. 设y=f(x)是一次函数,已知f(8)=15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比数列,求f(1)+f(2)+…+f(m)的值。
10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2),对称轴与x轴平行,开口向右,直线y=2x+7和抛物线截得的线段长是4