谷歌地球最新版2015:导数概念学习中应让学生重点体验什么

嘉兴教育学院　吴明华
“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”第六次课题活动选定的研究课之一是“导数及其应用第一课时”。课题活动的全过程为我们提供了一次深入思考的机会，核心问题是：高中学生如何学习导数概念？
一、解读《课程标准》要求
《普通高中数学课程标准（实验）》这样说：
（1）导数概念及其几何意义
①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵（参见例2、例3）。
②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。
从表面来看，这一段文字似乎已将高中学生如何学习导数概念说得很全面了，不仅阐述了“学什么”，还规定了“怎么学”。但仔细想想却有些迷惑：导数的思想及其内涵是什么？
从课标所给的例2（企业治污效果：平均变化率的比较）、例3（高台跳水瞬时速度：从平均变化率到瞬时变化率）来看，这两个例子并不是回答“什么是导数的思想及其内涵”的。从上下文联系来看，既然“瞬时变化率就是导数”，那么导数问题就是瞬时变化率的问题。但是，瞬时变化率的思想及其内涵又是什么呢？
其实，我们不用去猜这个谜语。既然“导数就是瞬时变化率”，那就追问：瞬时变化率是什么？我们还可以追问“由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程”是怎样的？这样追问下去，谜底自然是：瞬时变化率是平均变化率的极限。我们可以怎么说：函数的变化率和极限的思想及其内涵就是导数的思想及其内涵，而由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程就是一个无限逼近的极限过程。
二、概括实验教材内容
选修2－2（人教A版教材）第一章导数及其应用的第一节的内容是：
1.1变化率与导数
1.1.1变化率问题
问题1　气球膨胀率；问题2　高台跳水；函数的平均变化率及其几何意义。
1.1.2导数的概念
高台跳水中瞬时速度问题（从平均速度到瞬时速度，通过数值计算来逼近）；瞬时速度的物理学说法；极限的描述性说法及记号；函数在某一点的导数的概念（瞬时变化率）及记号；例1　油温的瞬时变化率（求函数在某一点的导数，通过解析式计算来得出）。
1.1.3导数的几何意义
曲线的切线（从割线到切线，通过直观观察得到）；导数的几何意义（切线的斜率）；例2　高台跳水不同时刻的瞬时速度比较（从切线来观察）；例3　人体血管药物浓度的瞬时变化率（从切线利用网格来估算）；导函数的概念（简称导数）。
看得出，教材遵循了《课标》的要求，还在导数的几何意义部分渗透了“以直代曲”的逼近思想。其中，教材为我们呈现了“由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程”的三种方式：①数值逼近；②解析式抽象；③几何直观感受。正是这三种不同的方式，强化了导数的思想和内涵，是导数概念学习的核心，笔者以为这是教材最成功的地方。
①数值逼近
对于给定的函数和点，在附近取（），使，依次计算平均变化率，观察：当越来越小时，的数值趋向。
②解析式抽象
对于给定的函数和点，形式化地取自变量的增量，计算函数的增量，计算平均变化率（或直接计算），对解析式进行抽象观察：当时，（多数情况等同于取来进行求值）
③几何直观感受
给定函数的图象和图象上的定点，在点的附近形式化地取函数图象上的动点P，观察：当点P越来越靠近点时，直线的位置变化趋向。定义曲线（函数的图象）的割线与切线。
三、纠正教学认识偏见
偏见之一：跳过极限学导数
简单地问一个问题：中学数学中有极限吗？由于课标中强调不讲极限（数列极限与函数极限）概念，特别是不讲极限的严格定义（），或者说课标将这些内容删去了（因为原来是有的），所以就有人认为：中学数学现在不学极限了，不学极限直接学导数啦。但仔细阅读教材后可以发现，实际上并不是“不学极限学导数”。教材尽管是“不讲极限概念”，但那只是“不讲极限的严格定义（）”，而类似于“无限趋向于”这样的极限描述性语言还是在使用的。
就导数概念的学习，拿“本质”这个流行的词来说，“数值逼近”的本质是数列极限，“解析式抽象”的本质是函数极限，“几何直观感受”的本质是图形的“无限逼近”显然也是极限。因此不但没有跳过极限学导数，相反，正因为没有专门学极限，所以在导数概念教学中需要让学生重点体验“极限的过程和思想”。
偏见之二：通过大量实例分析
相对于传统数学教学，适当增加实例与背景，确实是体现课改理念的表现。在本节教材中，用气球膨胀、高台跳水（3次）、原油温度、药物浓度共6次举例，还在习题中用到排污治理、物体运动、车轮旋转、汽车行驶等实际背景，特别是高台跳水，包括练习和习题在内，居然反反复复举了10次，可谓是名符其实的“大量实例”了。
我们知道，“数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具”，但是否需要那么多的实例？实例是否一定就是“实际生活中的例子”？譬如，“函数从到的平均变化率”，是不管用还是不够实在？
“背景”在数学学习中应该起帮助和促进作用。如果我们从物理中“借力”，让平均速度作为函数平均变化率的学习基础，似乎还有道理，那么用气球的膨胀率来“铺垫”函数的平均变化率是出于什么考虑呢？难道是因为我们儿时就懂得了气球的膨胀率？笔者儿时吹一种3分钱的小气球，留下难忘的印象是：一开始不容易吹大，因为球皮很紧，吹进了一部分气、吹松了，后来容易吹大。从学生的学习来说，用气球的膨胀率来说明函数的变化率、用瞬时速度来说明函数的瞬时变化率，都类同于数学证明中的“循环论证”。因此这样的例子在我看来是无效的。
偏见之三：照搬教材设计教学
在“1.1变化率与导数”中，教科书给出了“1.1.1变化率问题”、“1.1.2导数的概念”、“1.1.3导数的几何意义”三小节内容，教师用书提供了3个课时参考，人们就自然认为每个小节的内容教学1个课时。第1课时的主题是“平均变化率”，“这节课的内容平淡、单薄，教学中很难‘出新、出奇、出彩’”(张健，平衡：数学课堂教学改革的基本要义，中学数学教学参考，2008.3（高中）)。于是，教学也就设计成“通过大量实例”来不厌其烦地讲一个“函数的平均变化率”。难道我们真舍得用一课时让学生在平均变化率这一个点上去“充分体验”吗？
毋庸讳言，教科书很难与教学设计完全一致。上文已经说到，导数概念的核心是由平均变化率到瞬时变化率的极限思想与过程，那么我们还有什么理由不让学生去重点体验它呢！
四、我的教学设计方案
针对教材第一节的内容，假如要给出一个用3课时完成的教学方案，可以是：
 
课时安排
第1课时
第2课时
第3课时
课堂主题
变化率
导数
导数的几何意义
主要内容
1、平均变化率的概念
2、从平均变化率到瞬时变化率
1、极限概念
2、导数概念
3、导函数概念
1、割线与切线的概念
2、变化率的几何意义
过程方法
数值逼近
解析式抽象
几何直观感受
关键表述语
越来越接近于
趋向于
趋向于、无限接近于
重点体验
由平均变化率过渡到瞬时变化率所体现的极限的过程和思想
 
事实上这3节课的内容是紧密联系着的，在实际教学中可以将导数的几何意义结合在前两课时中教学，这样会使内容呈现的顺序更自然些。