阎王纹身图案:集合与常用逻辑用语

数学专题一：集合与常用逻辑用语

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发布：徐雄 　时间：2009-3-19 20:50:27 　来源：兴庆区教育局信息中心 　一、考纲解读1、考纲要求（1）集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系。  ②能用自然语言、图形语言、符号语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。②在具体情境中，了解全集与空集的含义。（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。③能使用韦恩图表达集合的关系及运算。（4）命题及其关系①理解命题的概念。②了解“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系。③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。（5）简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。（6）全称量词与存在量词①理解全称量词与存在量词的意义。②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。2、考纲解读   集合与常用逻辑用语是高中数学的重要重要基础知识，是高考的必考内容。本章知识的高考命题热点有以下两个方面：一是对集合的运算、集合的有关术语和符号、集合的简单应用、命题的真假判断、四种命题的关系、充要条件的判定、逻辑联结词、全称量词与存在量词等作基础性知识的考查，题型多以选择题、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言为表现形式，结合逻辑知识考查数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现。二、要点知识分析    1、集合的概念：（1）集合中元素特征：确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；   ②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x²}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x²}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；（1）       集合的表示法：    ①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N={0，1，2，3，…}；②描述法。2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用或表示；    （2）集合与集合的关系，用，，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A是B的真子集。3、集合运算   (1)交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，C_UA=｛x|x∈U，且xA｝，集合U表示全集；(2)运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），C_U（A∩B）=（C_UA）∪（C_UB），C_U（A∪B）=（C_UA）∩（C_UB）等。    4、命题：(1)命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；(2)复合命题的形式：p且q，p或q，非p；      (3)复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。(4)四种命题：记“若p则q”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。5、充分条件与必要条件  (1)定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；(2)在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合，则当AB  时，p是q的充分条件.BA时， q是p的充分条件.A=B时，p是q的充要条件；(3)当p和q互为充要条件时，体现了命题等价转换的思想。6、全称量词和存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等。(2)常见的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等。(3)全称量词用符号“”表示，存在量词用符号“”表示。7、全称命题和特称命题及其否定(1)含有全称量词的命题叫全称命题。(2)含有存在量词的命题叫特称命题。(3)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。(4)的否定为：非；的否定为：。三、重点、难点、易错点分析重点是集合的运算、充要条件的判定、四种命题的关系以及对 “或”、“且”、“非”命题的否定及其真假判定；难点是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言为表现形式，结合逻辑知识,考查数学思想、数学方法和数学能力的题型解答；易错点是将否命题和命题的否定混淆，对全称命题与特称命题的否定易出错,充要条件的判定易出错。四、典型例题  例1、已知集合M={y|y=x²+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。  例2、已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。   例3、已知命题①②使，写出这两个命题的否定。   例4、若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件。  例5、已知命题；命题，求使 为真命题的的取值范围。   五、同步练习（一）  选择题1、设M={x|x²+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与M的关系是A、{a}=M        B、M{a}        C、{a}M        D、M{a}2、已知全集U=R，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，则a的取值范围是A、[0，2]       B、（-2，2）      C、（0，2）       D、（0，2）3、设全集为，若，则集合可表示为A、     B、    C、   D、4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数A、11            B、10            C、16            D、155、集合M={1，2，3，4，5}的子集是A、15            B、16            C、31            D、326、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是   A、所给命题为假  B、它的逆否命题为真  C、它的逆命题为真  D、它的否命题为真7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的A、充分不必要条件  B、必要不充分条件  C、充要条件  D、既不充分也不必要条件8、已知集合，则A、      B、      C、      D、9、方程mx²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是A、010、已知命题，则A、   B、   C、   D、（二）填空题11、已知M={}，N={x|，则M∩N=__________。12、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最是___人。13、命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为____________。14、非空集合p满足下列两个条件：（1）p{1，2，3，4，5}，（2）若元素a∈p，则6-a∈p，则集合p的个数是__________。15、命题，则成立的    条件。16、若集合，则      。六、考题回放（一）选择题：1.（全国二2）设集合，(   )A．      B．        C．       D．2.(安徽卷1)若为全体正实数的集合，则下列结论正确的是（  ）A．   B. C．  D．3.（安徽卷4）是方程至少有一个负数根的（  ）A．必要不充分条件    B．充分不必要条件  C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件4.(北京卷1)若集合，，则集合等于A． B． C． D．5.（福建卷1）若集合A={x|x²-x＜0},B={x|0＜x＜3},则A∩B等于(   )A.{x|0＜x＜1}    B.{x|0＜x＜3}     C.{x|1＜x＜3}    D.￠6.（广东卷1）第二十九届夏季奥林匹克运动会于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}。集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是(   )A.AB          B.BC         C.A∩B=C      D.B∪C=A7.(海南卷1)已知集合M ={ x|(x + 2)(x－1) < 0 }，N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（  ）A. (－1，1)       B. (－2，1)   C. (－2，－1)     D. (1，2)8.（湖北卷3）若集合,则（   ）A. 是的充分条件，不是的必要条件B. 不是的充分条件，是的必要条件C．是的充分条件，又是的必要条件.D.既不是的充分条件，又不是的必要条件9.（湖南卷1）已知，，，则(   )A．     C．  D. 10.（江西卷1）“”是“”的（   ）A．充分不必要条件   B．必要不充分条件   C．充要条件   D．既不充分也不必要条件11.（江西卷2）定义集合运算:.设,,则集合 的所有元素之和为 （   ）A．0            B．2                  C．3                D．612.(辽宁卷1)已知集合，，则（  ）A．     B．      C．        D．13.(山东卷1)满足，且的集合的个数是A．1      B．2        C．3        D．414.（陕西卷2）已知全集，集合，，则集合A．        B．         C．        D．15.(天津卷1)设集合，，，则=A．    B．     C．        D．16.（浙江卷1）已知集合，，则A.     B.     C.      D.（二）填空题：1.（福建卷16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集QM,则数集M必为数域;④数域必为无限集.其中正确的命题的序号是          .（把你认为正确的命题的序号都填上）2.（江苏卷4）A=，则A Z 的元素的个数        ．3.（上海卷2）若集合，满足，则实数a =     ．4.（重庆卷13）已知集合，则           . 七、专题测试（一）选择题：（每小题5分，共60分）1．当时，下列四个集合中是空集的是（  ）A．   B．    C．   D.2．定义集合，若，则的子集个数为（  ）A．         B．         C．         D．3．若、均为非空集合，则的（   ）A．充分不必要条件   B．必要不充分条件   C．充要条件   D．既不充分也不必要条件4．已知若，则实数的取值范围是（   ）A．      B．       C．       D．5．命题“恒成立”是假命题，则实数的取值范围是（   ）A．      B．       C．       D．6．已知为实数集，，则（    ）A．       B．        C．         D．7．设集合，则满足的集合的个数是（    ）A．          B．        C．        D．8．设全集，则右图中的阴影部分表示的集合是（   ）A．   B．    C．   D．9．命题“对任意的”的否定是（    ）A．不存在        B．存在   C．存在           D．对任意的10．已知命题.给出下列四个命题：① ②，③，④，其中真命题的个数是（    ）A．             B．             C．             D．11．集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（    ）A．     B．      C．      D．12．命题的充分不必要条件；命题的充分不必要条件，则（    ）A．          B．         C．           D．（二）填空题（每小题5分，共20分）13．若集合只有一个元素，则                  .14.命题:的否命题是                                          .15.若集合,则满足条件的实数=                        .16.已知                  .(三)解答题(共70分)17.(本大题10分)已知集合,若,求.      18. (本大题12分)已知集合的定义域为.(1)若,求实数的值;(2)若,求实数的取值范围.       19. (本大题12分)已知命题有两个不相等的负实根;命题的解集为,若,求的取值范围.        20. (本大题12分)设集合.(1)求集合;  (2)若不等式.     21. (本大题12分)已知集合.(1)(2).           22. (本大题12分)已知数列.(1)  求证:若数列是等比 数列,则数列也是等比数列是真命题;(2)  写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.