董晴剧照:关于数论中欧拉函数和欧拉定理的简短证明 - dlyme的专栏 - CSDN博客
来源:百度文库 编辑:九乡新闻网 时间:2024/10/05 22:15:22
关于数论中欧拉函数和欧拉定理的简短证明 收藏
一.欧拉函数的证明
1) p^k的欧拉函数
对于给定的一个素数p,我们知道φ(p) = p-1。
假设一个整数n是p的k次幂,也就是 n = p^k,k∈N+
容易证明 φ(n) = p^k - p^(k-1)
证明: 已知少于小于p^k的正整数个数为p^k-1个,其中
和p^k不互质的正整数有{p×1,p×2,...,p×(p^(k-1)-1)}共计p^(k-1)-1个
所以φ(n) = p^k -1 - (p^(k-1)-1) = p^k - p^(k-1)
2) pq的欧拉函数
假设p,q是两个互质的正整数,则pq的欧拉函数为
φ(pq) = φ(p)φ(q),gcd(p,q)=1
证明:
∵M= pq, gcd(p,q) =1
∴根据中国余数定理,有 Zm和Zp×Zq之间存在一一映射
所以M的完全余数集中元素的个数等于集合Zp×Zq元素的个数
而后者的元素个数为φ(p)φ(q),所以有 φ(pq) = φ(p)φ(q)
3) 任意正整数的欧拉函数
φ(n)=n∏(1-1/p),其中p为能够被n整除的质数二.欧拉定理的证明
对于互质的整数a和n,有a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
证明:
首先证明下面这个命题:
对于集合Zn={x_1,x_2,...,x_φ(n)},考虑集合
S = {ax_1 mod n,ax_2mod n,...,ax_φ(n)mod n}
则S = Zn
1) 由于a,n互质,x_i也与n互质,则ax_i也一定于n互质,因此
任意x_i,ax_i mod n 必然是Zn的一个元素
2) 对于Zn中两个元素x_i和x_j,如果x_i ≠ x_j
则ax_i mod n ≠ ax_j mod n,这个由a、n互质和消去律可以得出。
所以,很明显,S=Zn
既然这样,那么
(ax_1 × ax_2×...×ax_φ(n))mod n
= (ax_1 mod n × ax_2 mod n × ... × ax_φ(n) mod n)mod n
= (x_1 × x_2 × ... × x_φ(n))mod n
考虑上面等式左边和右边
左边等于(a^φ(n) × (x_1 × x_2 × ... × x_φ(n))mod n) mod n
右边等于x_1 × x_2 × ... × x_φ(n))mod n
而x_1 × x_2 × ... × x_φ(n))mod n和n互质
根据消去律,可以从等式两边约去,就得到:
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
本文来自CSDN博客,转载请标明出处:http://blog.csdn.net/dlyme/archive/2009/04/20/4094446.aspx
一.欧拉函数的证明
1) p^k的欧拉函数
对于给定的一个素数p,我们知道φ(p) = p-1。
假设一个整数n是p的k次幂,也就是 n = p^k,k∈N+
容易证明 φ(n) = p^k - p^(k-1)
证明: 已知少于小于p^k的正整数个数为p^k-1个,其中
和p^k不互质的正整数有{p×1,p×2,...,p×(p^(k-1)-1)}共计p^(k-1)-1个
所以φ(n) = p^k -1 - (p^(k-1)-1) = p^k - p^(k-1)
2) pq的欧拉函数
假设p,q是两个互质的正整数,则pq的欧拉函数为
φ(pq) = φ(p)φ(q),gcd(p,q)=1
证明:
∵M= pq, gcd(p,q) =1
∴根据中国余数定理,有 Zm和Zp×Zq之间存在一一映射
所以M的完全余数集中元素的个数等于集合Zp×Zq元素的个数
而后者的元素个数为φ(p)φ(q),所以有 φ(pq) = φ(p)φ(q)
3) 任意正整数的欧拉函数
φ(n)=n∏(1-1/p),其中p为能够被n整除的质数二.欧拉定理的证明
对于互质的整数a和n,有a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
证明:
首先证明下面这个命题:
对于集合Zn={x_1,x_2,...,x_φ(n)},考虑集合
S = {ax_1 mod n,ax_2mod n,...,ax_φ(n)mod n}
则S = Zn
1) 由于a,n互质,x_i也与n互质,则ax_i也一定于n互质,因此
任意x_i,ax_i mod n 必然是Zn的一个元素
2) 对于Zn中两个元素x_i和x_j,如果x_i ≠ x_j
则ax_i mod n ≠ ax_j mod n,这个由a、n互质和消去律可以得出。
所以,很明显,S=Zn
既然这样,那么
(ax_1 × ax_2×...×ax_φ(n))mod n
= (ax_1 mod n × ax_2 mod n × ... × ax_φ(n) mod n)mod n
= (x_1 × x_2 × ... × x_φ(n))mod n
考虑上面等式左边和右边
左边等于(a^φ(n) × (x_1 × x_2 × ... × x_φ(n))mod n) mod n
右边等于x_1 × x_2 × ... × x_φ(n))mod n
而x_1 × x_2 × ... × x_φ(n))mod n和n互质
根据消去律,可以从等式两边约去,就得到:
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
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